数学：第26章二次函数复习课件（新人教版九年级下）
二次函数复习课
二次函数 \( y = x^2 – x – 6 \) 的图象顶点坐标是 (1, -6)，对称轴是 \( x = 1 \)。
一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 的顶点式为 \( y = a(x – h)^2 + k \)，其中 \( (h, k) \) 是顶点坐标，\( x = h \) 是对称轴。
二次函数的图象是一条抛物线，具有以下性质：开口方向；对称轴；顶点坐标；增减性；最值。
画二次函数的大致图象步骤：①画对称轴 ②确定顶点 ③确定与y轴的交点 ④确定与x轴的交点 ⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点 ⑥连线。
增减性：当 \( a > 0 \) 时，\( x < h \) 时 \( y \) 随 \( x \) 的增大而减小；\( x > h \) 时 \( y \) 随 \( x \) 的增大而增大。当 \( a < 0 \) 时，情况相反。
最值：当 \( a > 0 \) 时，\( x = h \) 时 \( y \) 有最小值 \( k \)；当 \( a < 0 \) 时，\( x = h \) 时 \( y \) 有最大值 \( k \)。
函数值 \( y \) 的正负性：当 \( a > 0 \) 且 \( x < h \) 或 \( a < 0 \) 且 \( x > h \) 时，\( y > 0 \)；\( x = h \) 时，\( y = 0 \)；其他情况下 \( y < 0 \)。
开口方向：向上 \( a > 0 \)；向下 \( a < 0 \)。对称轴：在 \( y \) 轴右侧 \( a \)、\( b \) 异号；在 \( y \) 轴左侧 \( a \)、\( b \) 同号。
与 \( y \) 轴的交点：在 \( y \) 轴正半轴 \( c > 0 \)；在 \( y \) 轴负半轴 \( c < 0 \)。与 \( x \) 轴的交点：两个不同 \( b^2 – 4ac > 0 \)；唯一 \( b^2 – 4ac = 0 \)；没有 \( b^2 – 4ac < 0 \)。
解题思路：①将原抛物线写成顶点式 \( y = a(x – h)^2 + k \) ②写出顶点 \( (h, k) \) ③写出顶点 \( (h, k) \) 关于 \( x \) 轴的点的坐标 \( (h, -k) \) 则关于 \( x \) 轴对称的抛物线解析式是 \( y = -a(x – h)^2 – k \)。
关于 \( x \) 轴对称：关于 \( x \) 轴对称：关于 \( y \) 轴对称：关于 \( y \) 轴对称：①将原抛物线写成顶点式 \( y = a(x – h)^2 + k \) ②写出顶点 \( (h, k) \) ③写出顶点 \( (h, k) \) 关于 \( y \) 轴的点的坐标 \( (-h, k) \) 则关于 \( x \) 轴对称的抛物线解析式是 \( y = a(x + h)^2 + k \)。
在同一坐标系中，函数 \( y = ax + b \) 与 \( y = ax^2 + bx \)（\( ab \neq 0 \)）的图象只可能是相切或相交。
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度 \( OM = 12 \) 米，现以 \( O \) 点为原点，\( OM \) 所在直线为 \( x \) 轴建立平面直角坐标系。
(1) 直接写出点 \( M \) 及抛物线顶点 \( P \) 的坐标。
(2) 求出这条抛物线的函数关系式。
(3) 施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” \( ABCD \)，使 \( A \)、\( D \) 两点在抛物线上，\( B \)、\( C \) 两点在地面 \( OM \) 上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆 \( AB \)、\( AD \)、\( DC \) 的长度之和的最大值是多少？
解：(1) 点 \( M \) 的坐标是 \( (12, 0) \)，点 \( P \) 的坐标是 \( (6, 6) \)。
(2) 设此抛物线解析式为 \( y = a(x – 6)^2 + 6 \) 因为它经过 \( (0, 0) \)，则 \( 0 = a(0 – 6)^2 + 6 \) 解得 \( a = -\frac{1}{12} \)。
(3) 设点 \( A \) 的横坐标为 \( m \)，则点 \( A \) 的纵坐标是 \( \frac{-1}{12}(m – 6)^2 + 6 \)。
\( AD = BC = 12 – 2m \)，\( AB = CD = \sqrt{m^2 + (\frac{-1}{12}(m – 6)^2 + 6 – 0)^2} \)。
\( AB + AD + DC = 12 – 2m + \sqrt{m^2 + (\frac{-1}{12}(m – 6)^2 + 6)^2} \)。
当 \( m = 3 \) 时，即 \( OB = 3 \) 米时，3根木杆长度之和的最大值为 \( 15 \) 米。
如果现有一辆宽 \( 4 \) 米，高 \( 4 \) 米的卡车准备要通过这个隧道，它能顺利通过。因为当 \( x = 4 \) 时，即当这个隧道在中心两旁 \( 4 \) 米宽时的顶的高度达到了 \( 5 \) 米多，而车的高度只有 \( 4 \) 米。
练习题中，\( y = -x^2 \)，\( y = 2x^2 + 3 \)，\( y = 100 – 5x^2 \) 是二次函数，\( y = -2x^2 + 5x^3 – 3 \) 不是二次函数。
二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程可以通过配方法求得，或者利用顶点坐标公式 \( (-\frac{b}{2a}, \frac{4ac – b^2}{4a}) \) 来求解。
抛物线的对称轴及顶点坐标可以通过观察或者计算得出。
函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等信息可以通过分析函数的系数来确定。
将抛物线进行平移时，可以使用“上加下减，左加右减”的规则来得到新的表达式。
二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）与一次函数 \( y = ax + c \) 在同一坐标系内的大致图象可以通过观察 \( a \) 和 \( c \) 的值来确定。
二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的几个特例可以通过代入特定的 \( x \) 值来求解。
求二次函数解析式时，可以根据已知条件选择合适的方法，如已知顶点坐标、对称轴或最值，已知任意三点坐标，或已知抛物线与 \( x \) 轴的交点坐标等。
不论 \( x \) 为何值时，函数 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的值永远为正的条件是 \( a > 0 \) 且 \( b^2 – 4ac < 0 \)。
求抛物线与 \( y \) 轴、\( x \) 轴的交点坐标，以及 \( x \) 取何值时 \( y > 0 \) 可以通过解方程来实现。
已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + 3 \)（\( a \neq 0 \)）与 \( x \) 轴交于点 \( A(1, 0) \) 和点 \( B(-3, 0) \)，与 \( y \) 轴交于点 \( C \) 时，可以求出抛物线的解析式，以及满足特定条件的点 \( Q \)、\( P \) 的坐标。
求四边形 \( BOCE \) 面积的最大值及此时 \( E \) 点的坐标，可以通过分析 \( E \) 点的位置来确定。
名称：第26章二次函数复习题26课件ppt下载
学科：数学
类型：PPT课件
年级：初中三年级
版本：人教版
页数：28张
大小：605.13 KB
格式：pptx
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