目标第二十六章 二次函数复习课
一、知识结构
1. 二次函数的相关概念
– 定义：形如 \( y = ax^2 + bx + c \) (a, b, c 是常数，a ≠ 0) 的函数叫做二次函数。
– 条件：二次函数必须满足三个条件：
– 函数解析式是整式；
– 化简后自变量的最高次数必须是2；
– 二次项的系数 a 不为0，一次项系数 b 和常数项 c 可以为任意实数。
2. 二次函数解析式常用的三种形式：
– 一般式：\( y = ax^2 + bx + c \) (a ≠ 0)
– 顶点式：\( y = a(x – h)^2 + k \) (a ≠ 0)
– 交点式：\( y = a(x – x_1)(x – x_2) \) (a ≠ 0)
二、二次函数的图象及其性质
1. 几种特殊的二次函数的图象特征
2. 系数 a, b, c 与二次函数的图象：
– a 决定开口方向及开口大小：当 a > 0 时，开口向上；当 a < 0 时，开口向下；|a| 越大，抛物线的开口越小。
- b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置：
- b = 0 时，对称轴为 y 轴；
- 当 b > 0 (即 a, b 同号) 时，对称轴在 y 轴左侧；
– 当 b < 0 (即 a, b 异号) 时，对称轴在 y 轴右侧。
- c 的大小决定抛物线与 y 轴交点的位置：
- c = 0，抛物线经过原点；
- c > 0，抛物线与 y 轴交于正半轴；
– c < 0，抛物线与 y 轴交于负半轴。
3. 二次函数图象的平移规律：平移不改变图形的形状和大小，抛物线在平移的过程中，图象的形状、开口方向必相同，即 a 不变。其平移的规律用语言来表示可以归结为：“上加下减，左加右减”。
三、二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) (a ≠ 0) 与一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) (a ≠ 0) 的关系：
- 数的角度：当二次函数的函数值等于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次方程的解。
- 形的角度：若抛物线与 x 轴两交点为 \( A(x_1, 0) \), \( B(x_2, 0) \)，则一元二次方程的两个根为 \( x_1 \)，\( x_2 \)。
2. 抛物线与 x 轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关系：
- 有两个交点 ⇔ \( \Delta > 0 \);
– 有一个交点 (顶点在 x 轴上) ⇔ \( \Delta = 0 \);
– 没有交点 ⇔ \( \Delta < 0 \)。
3. 应用二次函数图象求方程的近似根的步骤：
- 根据方程确定与方程有关的二次函数；
- 画出二次函数的图象；
- 初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物线与 x 轴交点的横坐标的大体范围；
- 在初步估值确定的范围内，借助计算器探索，确定近似值。
四、二次函数的应用
1. 应用二次函数解决实际问题的步骤：
- 理解问题，设出变量 x，y；
- 分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
- 用函数解析式表示它们之间的关系；
- 计算或求解，并应用函数的性质作出判断；
- 检验结果的合理性。注：要考虑自变量的取值范围，使所求最值与实际相符。
2. 二次函数应用的类型及解题策略：
- 最值问题：如利润最大问题，几何图形中的最值问题等。
- 抛物线形问题：如桥梁、隧道、涵洞等建筑物设计，物体运动的轨迹等。
【典型例题】
- 例7：已知二次函数 \( y = -x^2 + bx + c \) 的图象与 x 轴的一个交点坐标为 (-1, 0)，与 y 轴的交点坐标为 (0, 3)，求 b, c 的值，并写出此二次函数的解析式；根据图象，写出函数值 y 为正数时，自变量 x 的取值范围。
- 例8：大润发超市进了一批成本为 8 元/个的文具盒，求这种文具盒每个星期的销售量 y 与它的定价 x 之间的函数关系式；每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润最高？最高利润是多少？
【巩固练习】
- 题目 1 至 8：涉及二次函数的图象平移、最值问题、实际应用等，要求学生掌握二次函数的基本概念、图象性质、与一元二次方程的关系以及实际应用中的解题策略。
名称：第26章二次函数复习题26数学ppt课件下载
学科：数学
类型：PPT课件
年级：初中三年级
版本：人教版
页数：24张
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