第27章 相似 总复习
1. 形状相同的图形：①表象：大小不等，形状相同；②实质：各对应角相等，各对应边成比例。
2. 相似多边形：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（相似比与叙述的顺序有关）。
3. 相似多边形性质：①相似多边形的对应角相等，对应边成比例；②相似多边形周长的比等于相似比；③相似多边形面积的比等于相似比的平方。
4. 相似三角形：三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（相似比与叙述的顺序有关）。
5. 相似三角形性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比，对应高的比，对应周长的比都等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
6. 相似三角形与全等三角形的关系：相似比等于1的两个三角形全等。
7. 两个极具代表性的益智“模型”：“A”型和“X”型相似三角形。
8. 预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边（或其延长线），所截得的三角形与原三角形相似。
9. 三角形相似的判定方法：①三边对应成比例的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③有两个角对应相等的两个三角形相似。
10. 相似图形的特例图形的位似：①如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。
11. 如何作位似图形（放大或缩小）。
12. 体会位似图形何时为正像何时为倒像。
13. 练习：如图，添加一个条件，使△ABC∽△AED，则这条件可以是。
14. 练习：下列说法正确的是（选择正确选项）：A 所有的等腰三角形都相似；B 所有的直角三角形都相似；C 所有的等腰直角三角形都相似；D 有一个角相等的两个等腰三角形都相似。
15. 在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？
16. 两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的相似比是3：5，对应边上的高的比是3：5，周长之比是3：5。
17. 如图，△ABC, DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是1：√2。
18. △ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
19. 如图，ABCD是面积为a²的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接A₁B₁C₁D₁得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直到得到四边形AₙBₙCₙDₙ，则四边形AₙBₙCₙDₙ的面积为。
20. 在AB=20米，AD=30米的矩形ABCD的花坛四周修筑小路：(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四所围成的矩形和矩形ABCD相似吗？请说明理由；(2)如果相对两条小路的宽均相等，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成矩形和矩形ABCD相似？请说明理由。
21. 如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外）。
22. Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D。(1)写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由；(2)若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。
23. 例3.如图：在⊿ABC中，∠C=90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动；点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：①经过多少秒时⊿CPQ∽⊿CBA；②经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？
24. 例4：阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案：(1)所需的测量工具是：——；(2)请在下图中画出测量示意图；(3)设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x。
25. 现有一块三角形余料ABC，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm. E为AB上一动点（E不与A、B重合），且EF∥BC交AC于点F ，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,EF=x.求：(1)当HG落在BC上时，求x；(2)当HG不落在BC边上时，求y关于x的关系式。
26. 有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠A=90°，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？
27. 例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似（相似比不能为1），则C点坐标为。
28. 例3、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，设计方案是使AC=8，BC=6，求：(1)三角形AB边上的高线CH；(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式；(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，最大为多少？
29. 练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，(1)如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
30. 练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，(2)如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长。
31. 练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，(3)如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于⊿ABC，求正方形的边长。
32. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积。
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学科：数学
类型：PPT课件
年级：初中三年级
版本：人教版
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